1.lqr控制算法
2.LQR最优控制方法小结
3.第七讲：LQR算法解析及实现|Apollo星火计划之PnC专项
4.自动驾驶算法详解(3) : LQR算法进行轨迹跟踪，算算法lqr_speed_steering_control( )的法源python实现
5.做了莱洛三角形后，我搞懂了LQR算法，原理还得到了炫酷的介绍桌面摆件！
6.讨论LQR的算算法三种解法以及各自的复杂度计算

lqr控制算法

       LQR控制算法是一种关键的控制策略，其核心步骤如下：

       首先，法源下系统源码设计状态反馈控制器，原理通过引入K反馈环节，介绍通常设定控制输入u为u=-Kx，算算法以增强系统的法源响应性。

       稳定性的原理保证是关键，闭环系统的介绍稳定性要求所有极点都在复频域S平面的左侧，即所有极点的算算法实部为负。为此，法源需要计算闭环系统的原理传递函数，并确保其满足这个条件。

       在表达式中，将参考输入r替换为u，我们得到系统的闭合环传递函数，其极点对应矩阵A-BK的特征值，这意味着通过调整K矩阵，可以精确控制闭环系统的动态行为。

       当系统状态向量x(t)维度为1且系统稳定时，考虑扩展到n维，LQR的代价函数（也称为性能指标）会变成一个二次型函数，其中变量的最高次数为2，这种函数描述了系统性能的优化目标。

       在选择Q和R矩阵时，Q（状态加权矩阵）需要半正定，表示希望状态变量快速趋于零；而R（控制加权矩阵）为正定，强调控制输入的最小化，影响系统的mvn 编译源码衰减速度。实际应用中，Q和R的选择应兼顾系统的响应速度和输入控制力度，需要根据具体场景进行权衡调整。

LQR最优控制方法小结

       LQR最优控制法概览

       在控制理论的瑰宝中，LQR（Linear-Quadratic Regulator）方法以其对线性定常系统的高效优化脱颖而出。它的核心目标是通过全状态反馈策略，最小化累积的二次代价函数，从而实现成本的最小化。设计过程分为几个关键步骤：

预设参数: 首先设定性能衡量矩阵Q和R，它们共同决定了系统的性能和稳定性要求。

Riccati方程求解: 数值解Riccati方程是核心环节，通过求得P矩阵，进而导出最优控制增益矩阵K（例如：K = lqr(A, B, Q, R)）。

       相较于全状态反馈下的极点配置，LQR通过调整性能代价函数，间接影响系统动态，而极点配置则直接控制系统的特征根。尽管两者在结构上相似，但LQR更侧重于通过代价函数来优化系统响应。

       深入理解与应用

       在实际操作中，LQR与黎卡提方程紧密相连，它不仅用于优化二次型性能指标，还结合了状态空间模型和输出反馈设计。稳定性分析通过李雅普诺夫定理确保系统渐进稳定。尽管PID控制易于理解和使用，但对于非最小相位系统，LQR的性能更加卓越。

       Matlab示例生动展示了LQR对二阶系统控制的威力，通过调整R矩阵，可以精细调整系统的响应特性。而在离散时间下，群接龙 源码LQR需要通过递归迭代计算最优控制，这在伪代码中清晰可见：

离散LQR算法: 以实际状态x和期望状态xf为输入，结合Q、R矩阵，以及系统动态矩阵A和B，以及时间步长dt，逐步求解最优控制输入。

       循环中，离散时间卡蒂方程和最优反馈增益的计算，最终得出一系列控制输入u，经过N轮迭代后，我们得到最佳控制输入u*。

       扩展与研究

       LQR的稳健性和频率特性分析是其重要研究领域。深入探讨LQR的设计资源，如Wikipedia、Advanced Control Theory视频以及英文维基百科，为我们提供了丰富的理论依据和实践指导。

       总结而言，LQR方法凭借其简洁而强大的数学原理，成为工程控制领域不可或缺的工具。掌握这一方法，我们能在实际系统设计中实现高效、稳定的性能优化。

       参考资料

       Wikipedia - LQR控制器

       Advanced Control Theory video - LQR视频教程

       Linear Quadratic Regulator设计资源

       LQR基础教程

第七讲：LQR算法解析及实现|Apollo星火计划之PnC专项

       第七讲深入解析了LQR算法及其在Apollo星火计划PnC专项中的应用。LQR算法在车辆控制中发挥关键作用，如实现横向跟踪偏差模型，通过线性二次型问题优化控制序列以达到系统稳定和成本最小化。该算法关注于线性系统的稳定性，通过哈密尔顿方程和拉格朗日法求解最优状态反馈控制器，以控制量[公式] 影响车辆状态转移。

       在处理车辆动力学模型时，qe源码吧LQR考虑到道路曲率带来的稳态误差，引入前馈控制量以减小误差。通过《车辆动力学及控制》中的理论，侧偏刚度kv被适配到Apollo模型中，用于进一步改进控制性能。

       在代码层面，具体到Apollo的实现，可以从视频链接（apollo.baidu.com/commun...，:秒开始）中了解到详细的代码解析。而在云平台上，LQR算法也被应用到纵向控制的PID仿真实践中，为实际驾驶环境中的车辆控制提供支持。

自动驾驶算法详解(3) : LQR算法进行轨迹跟踪，lqr_speed_steering_control( )的python实现

       前言：

       LQR算法在自动驾驶应用中主要应用于NOP、TJA、LCC等横向控制场景，常与曲率前馈控制结合，以实现轨迹跟踪目标。本文将通过Python实现轨迹跟踪算法的lqr_speed_steering_control( )，旨在通过同时调控转角与加速度来实现轨迹跟踪。

       正文如下：

       一、LQR问题模型建立：

       本文建立的模型基于离散代数黎卡提方程，涵盖了系统状态矩阵与输入矩阵的定义，为后续算法实现提供理论基础。

       二、代码实现：

       首先，定义期望轨迹与速度。随后，设置数据结构与方法，定义起点参数。利用LQR算法计算出加速度与前轮转角，wordpress 源码讲解最后可视化结果。

       三、结果分析：

       LQR算法在自动驾驶中常用于NOP、TJA、LCC等功能的横向控制，通过分析几种典型工况下的轨迹跟踪效果，包括正常变道、转弯以及轴距对控制效果的影响，进一步验证了算法的适用性和有效性。

       四、文章推荐：

       对于自动驾驶算法的深入理解，推荐以下系列文章：

       - 自动驾驶Player：自动驾驶算法详解(1) : 路径规划Piecewise Jerk Path Optimizer的python实现

       - 自动驾驶Player：自动驾驶算法详解(2) : prescan联合simulink进行ADAS算法的仿真

       - 自动驾驶Player：自动驾驶算法详解(4): 横向LQR、纵向PID控制进行轨迹跟踪以及python实现

       - 自动驾驶Player：自动驾驶算法详解(3) : LQR算法进行轨迹跟踪，lqr_speed_steering_control( )的python实现

       对于Apollo驾驶仿真技术，推荐以下文章：

       - 自动驾驶Player：Apollo规划决策算法仿真调试(1)：使用Vscode断点调试apollo的方法

       - 自动驾驶Player：Apollo规划决策算法仿真调试(2)：使用bazel 编译自定义代码模块

       - 自动驾驶Player：Apollo规划决策算法仿真调试(3)：ReferenceLineProvider参考线生成流程

       - 自动驾驶Player：Apollo规划决策算法仿真调试(4):动态障碍物绕行

       - Apollo Planning决策规划代码将在以下系列做详细解析，包括Scenario选择、执行、stage执行、Stage逻辑详解、规划算法流程介绍、LaneChangeDecider、PathReuseDecider、PathLaneBorrowDecider、PathBoundsDecider、PathAssessmentDecider、PathDecider、RuleBasedStopDecider、SPEED_BOUNDS_PRIORI_DECIDER、速度动态规划SPEED_HEURISTIC_OPTIMIZER的上下篇、以及后续更新的Apollo规划算法完整解析。

做了莱洛三角形后，我搞懂了LQR算法，还得到了炫酷的桌面摆件！

       我做了一个能自平衡的莱洛三角，吸引了.3w人的关注...

       最近，我又推出了一个“船新”版本，以下是它的改动之处。

       本文将分享自平衡莱洛三角的硬件设计、电路设计、DIY物料清单、程序烧录教程、调参教程、LQR算法解释和开源说明。

       说明：本项目转载自立创开源硬件平台！作者：coll

       硬件设计：使用嘉立创EDA绘制电路原理图，LaserMaker绘制外形和动量轮。硬件设计部分有4个注意事项。

       1.绘制完的图形导入到立创EDA中可作为PCB的外框。

       2.丝印图案分别是Gawr Gura、ouro kronii helicopter。

       3.Arduino的程序中的command.h、command.cpp可以支持任意的字符串输入。在其他项目中一样可以用，无论是wifi接收到的字符串数据或者是串口的字符串数据。

       4.GUI上位机可以在其他wifi项目中继续使用，用来调参还是很方便。

       设计图（4张）DIY物料盘点表：如果你也想DIY一个莱洛三角，可以参考这个表格准备材料。

       程序烧录教程：1.下载完所有文件后，打开文件V3/bin/flash_download_tool_3.9.2.exe。2.打开flash_download_tool后选择chip Type "ESP"，然后点OK，在第五行选择target.bin，烧录到0x位置。3.使用CH下载器，将下载器的TXD\RXD\GND用杜邦线引出，对准PCB的ESP正上方的GND\RXD\TXD，接法为TXD-TXD\RXD-RXD\GND-GND。4.PCB焊好后，打开电源同时按住boot和RESET按钮，先松开RESET，然后松开boot进入下载模式后点START开始程序烧录。

       调参教程：1.长按电击触摸盘，这样能打开wifi并停止电机。2.打开本项目内的python_gui内的可执行文件_main内的main.exe，并连接上WIFI：ESP。点击设置开始调参。3.连接成功后，点击disable，然后逆时针拨动动量轮，查看上位机中V参数是否为正值。注意！如果逆时针转为为负值那么需要将电机线任意两线互换。4.如果电机不能正常运行，可以点击上位机中最下方的测试部分，打开电压或者速度测试，滑动滑条，查看电机能否正常运行。如还不能请检测硬件电路部分。5.如果不能摇摆直立，推荐调整的参数为TA、SA、SV。6.滑条：最左边输入框为滑块下限，右边是滑块上限，滑条等分成份，命令是字符串，滑动滑块发送字符串 + 数值。7.K值可以用滑块调整，拖动滑块就会发送参数命令，但是调整到合适值之后需要自行在Arduino的main中修改再烧录一次。8.项目在Arduino环境下开发，可自行修改代码编译。比如让平衡角度为度，则输入：TA，参数会存入eeprom的位置0中。注：wifi发送命令不能过快，因为每次都会保存进eeprom，K参数没有保存到EEPROM所以可以使用滑条调整。

       LQR算法解释：当三角形向左倾斜时，需要产生向右的力回正。在电压控制下，回正力F直接和输出电压值挂钩，向左倾斜。电机提供正电压V动量轮向左加速转动，产生向右的力F。期望电压 = 角度差值x参数1 + 左右倾倒加速度x参数2 + 当前速度x参数3。在速度控制下，回正力F和动量轮转速加速度a有关，F = ma，向左倾斜，电机需要向左加速转动，产生向右的力F。期望速度 = 角度差值x参数1 + 左右倾倒加速度x参数2 + 当前速度x参数3。两者区别：电压和速度控制都可以实现平衡，但因为使用simpleFOC控制电机转速无法无限加速，本电机实验最高转速转，电压到上限v。使用电压控制，电机会很快到转速上限，不能提供稳定的力F，参数调起来比较困难。使用速度控制，可以在偏差变大的时候，根据期望速度产生最大电压v，并且不会超过电机最高转速。

       开源说明：本项目的电路代码源文件都开源了。如果你也想DIY一个这样的莱洛三角形，你可以直接在电脑端打开电路源文件： 「链接」

讨论LQR的三种解法以及各自的复杂度计算

       线性二次调节器（LQR）在控制理论中用于最小化系统状态与控制输入的加权和。本文将介绍几种常用的LQR求解方法，包括射击法、QP方法、有限时域和无限时域的黎卡提递归方法，以及动态规划法。

       系统模型

       考虑一个双积分器系统，其模型可以被精确离散化为以下形式：

       具体公式缺失，此处假设已正确离散化。

       对于初始状态 [公式] 和控制输入序列 [公式] ，状态更新方程为： [公式]

       方法一：射击法（Shooting Method）

       射击法基于庞特里亚金极小值原理，用于求解最优控制问题。

       首先定义原拉格朗日函数的表达式，然后推导出哈密顿方程，包括状态方程、伴随方程以及控制更新规则。

       代码实现步骤如下：

       1. 构建哈密顿方程

       2. 解状态方程

       3. 求伴随方程

       4. 更新控制输入

       方法二：QP Method

       将LQR问题表述为二次规划问题，构建代价函数和约束条件，形成QP标准问题。

       1. 构建代价函数

       2. 矩阵构建

       3. KKT条件

       4. 求解QP问题

       方法三：Riccati 递归法

       对于有限时域LQR，推导过程包括终端条件、递推关系、优化控制输入以及代价函数系数矩阵的更新。

       算法流程：

       1. 终端条件设定

       2. 递推关系计算

       3. 反馈增益矩阵求解

       无限时域LQR的推导过程类似，但求解代价函数系数矩阵P时，使用固定点迭代法。

       比较有限时域和无限时域LQR的主要区别在于终端条件的设定。

       动态规划法通过反向递推计算P和K矩阵，其时间复杂度主要取决于系统状态和控制输入的维度，以及迭代次数。

       时间复杂度分析如下：

       射击法的时间复杂度与初值猜测、数值积分和迭代求解非线性方程系统的复杂度相关。

       QP方法的时间复杂度主要依赖于构建KKT系统和求解线性方程组的复杂度。

       黎卡提方法的时间复杂度涉及递推求解黎卡提方程和计算反馈增益矩阵。

       优化问题分析和耗时对比实验结果将在此后续部分给出，以提供详细的时间分布分析。

       矩阵运算的复杂度主要取决于矩阵的维度和操作，如矩阵乘法的复杂度为 [公式]，矩阵求逆的复杂度为 [公式]。

       通过上述分析，我们可以深入理解LQR求解方法的原理、实现和时间复杂度，从而选择最合适的解法应用于特定的控制系统。