1.UnityShader-避免Clip()的柏林柏林溶解效果
2.黎曼函数发现者
3.柏林噪声
4.狄利克雷函数是什么？
5.欧拉公式
6.fastText 基本教程（一）—— 词向量训练

UnityShader-避免Clip()的溶解效果

       在Unity的官方文档GPU优化中提及，移动设备的函数shader中使用Alpha-Testing，特别是源码clip()函数，可能会产生较高的算法性能开销，因此推荐使用Alpha-Blend混合以替代。柏林柏林

       通常实现溶解效果时，函数糖果派对源码授权开发者会使用clip()函数结合溶解贴图和过渡贴图来创造平滑的源码过渡效果。然而，算法这种方法需要额外采样两张贴图，柏林柏林并且使用clip()函数，函数这会增加游戏运行的源码资源消耗。

       因此，算法为了优化溶解效果的柏林柏林性能，可以采用一种暴力但性能友好的函数方法。这种方法利用噪音算法（如柏林噪音算法）来代替采样溶解贴图，源码同时，推荐在移动平台上使用Alpha-Blend代替Alpha-Test，以优化透明度的显示方式，让物体逐渐消失。

       为了进一步优化溶解边缘的过渡效果，可以尝试使用火焰灼烧或幽灵消散等视觉效果，通过颜色渐变实现更自然的消失过程。具体做法是基于溶解边缘调整颜色，黑色部分直接叠加在基础贴图上，通过算法实现从白到黄再到红的过渡效果。

       为了实现完整的边缘过渡效果，需要定义两个颜色并使用lerp()函数进行颜色过渡。这种方法虽然可能在美术效果上显得较为生硬，但在性能优化上效果显著。

       最终，虽然性能优化得以实现，但基于算法的美术效果可能会显得较为简单。整体优化过程旨在提升游戏性能，同时，代码实现细节可能会根据Unity的渲染管线（如内置渲染管线或URP）进行调整。

黎曼函数发现者

       年9月日，德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村出生了一位名叫黎曼的天才数学家。他的父亲是一位贫困的乡村牧师，黎曼六岁开始上学，岁进入大学预科学习，副图分割源码为了继承父业，他岁时选择在哥廷根大学攻读哲学和神学。然而，他对数学的热爱让他在学习同时，也沉浸于数学的世界，特别是在当时世界数学中心的哥廷根大学，如高斯、韦伯等大师的存在，深深影响了他，最终他决定放弃神学，专攻数学。

       黎曼在柏林大学期间，成为了雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生，随后回到哥廷根攻读博士学位，成为了高斯的学生。他的学术生涯中，黎曼在短暂的一生中完成了许多奠基性的工作，他的著作虽然不多，但深刻而富有创新，对复变函数论的创立尤其突出。年，黎曼在高斯指导下，创立了多值解析函数理论，为复变函数论奠定了基础，并通过“黎曼面”的概念，极大地推动了拓扑学的发展。

       黎曼对几何的贡献同样伟大，他创立的黎曼几何是几何领域的一场革命，影响了现代几何和理论物理。年，他提出了黎曼几何的概念，挑战了传统的欧几里得几何，并在年的“巴黎之作”中深化了他的几何思想。他的工作不仅限于理论，还涉及微积分的完善，如黎曼积分和微分方程理论，合约k线源码包括超几何微分方程的研究。

       在数论领域，黎曼的解析方法开启了数论的新篇章，他的黎曼猜想至今仍然是数学界的一大未解之谜。同时，黎曼对组合拓扑学和代数几何的开创性工作，为后来的研究者开辟了新的研究路径。尽管黎曼的一些工作在当时未能得到广泛认可，但他的创新精神和深刻见解无疑为数学的多个领域留下了不可磨灭的印记。

柏林噪声

       在游戏开发领域，柏林噪声（由Ken Perlin的杰出发明）是一种不可或缺的自然纹理生成技术，它以其细腻且随机的特性，赋予了游戏世界更为真实和生动的质感。其核心在于通过巧妙的数学运算，从简单的随机数出发，创造出看似随机却又遵循特定规律的图案，为视觉效果增添无限可能。

       柏林噪声的基石是其生成算法，它通过控制参数生成一组伪随机数，保持参数不变保证每次输出的一致性。这个过程涉及关键步骤：首先，定义一个均匀的坐标系统，然后在这些整数点上赋予特定的值。接着，通过插值函数，如经典的线性插值，或者如Ken Perlin推荐的非线性函数（如3t^2-2t^3），计算出非整数点的数值，以实现平滑的过渡效果。

       在二维噪声的示例中，我们从一维插值升级到二维，通过X轴和Z轴的整数点获取基础值，Y轴则是通过随机数生成的值。这个过程要求在X和Z方向上保持连续性，而在Y轴上实现随机的波动。代码中，线性插值的局限性被克服，通过使用更复杂的插值函数，如三次插值，matlab爱心函数源码确保了噪声曲线在整数点间的平滑过渡，避免了尖锐的边缘。

       在三维空间中，柏林噪声的生成更为复杂，它利用三维坐标系和多维插值技术，模拟出自然地形的起伏。在Unity的LineRenderer中，通过一系列的计算和调整，呈现出令人惊叹的视觉效果。从简单的线性插值到高级的插值函数应用，柏林噪声的每一个细节都精心设计，以追求自然的美学和真实感。

       理解并掌握柏林噪声算法，不仅需要数学技巧，还需要对图形学和编程有深入的理解。从原始的随机整数点赋值，到最终的平滑噪声纹理，每个步骤都对最终结果产生影响。在实践中，游戏开发者可以调整参数，定制出符合项目需求的噪声纹理，为游戏世界注入独特的艺术气息。

       总而言之，柏林噪声是一种艺术与科学的结合，它通过代码的精湛编织，为游戏世界带来无限的视觉惊喜。从基础的二维噪声到复杂的三维应用场景，柏林噪声都是游戏开发者实现自然效果和创造沉浸式体验的宝贵工具。深入学习其原理和应用，无疑将提升你的游戏开发技能，让你的游戏世界更加生动和真实。

狄利克雷函数是什么？

       狄利克雷函数目 录

       1定义

       2性质

2.1 基本性质2.2 分析性质

       3函数周期

       4狄里克莱简介

1定义实数域上的狄里克莱（Dirichlet）函数表示为：D(x)=lim(n→∞){ lim(m→∞)[cosπm!x]^n}也可以简单地表示分段函数的形式D(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数)2性质基本性质1、定义域为整个实数域 R2、值域为 { 0, 1}3、函数为偶函数4、无法画出函数图像,但是它的函数图像客观存在5、以任意正有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）分析性质1、处处不连续2、yolov1 源码处处不可导3、在任何区间内黎曼不可积4、函数是可测函数5、在单位区间 [0,1] 上勒贝格可积，且勒贝格积分值为 0（且任意区间<a,b>以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）。3函数周期狄里克莱函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意非零有理数（周期不能为0），而非无理数。因为不存在最小正有理数，所以狄里克莱函数不存在最小正周期。4狄里克莱简介狄里克莱（～）　Dirichlet，Peter Gustav Lejeune　德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。年2月日生于迪伦，年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；～年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响 。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教年，对德国数学发展产生巨大影响。年任柏林大学教授，年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一。年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点。在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者。年狄里克莱撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播。年，他构造了狄里克莱级数。～年，他得到确定二次型 类数的公式。年，使用抽屉原理。阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构。在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄里克莱问题。

欧拉公式

       复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。

       拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个 数 ，V记顶点个数 ，E记边界个数 ，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理 ，它于 年由 Descartes首先给出证明 ，后来 Euler(欧拉 )于 年又独立地给出证明 ，我们称其为欧拉定理 ，在国外也有人称其 为 Descartes定理。

       R+ V- E= 2就是欧拉公式。

       欧拉公式在数学、物理和工程领域应用广泛。物理学家理查德·费曼(Richard Phillips Feynman)将欧拉公式称为：“我们的珍宝”和“数学中最非凡的公式”。

       法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon marquis de Laplace)曾这样评价欧拉对于数学的贡献：“读欧拉的著作吧，在任何意义上，他都是我们的大师”。

莱昂纳德·欧拉简介

       莱昂纳德·欧拉(Leonhard Euler)年生于瑞士巴塞尔，他的父亲保罗(Paul Euler)是一位基督教牧师，他父亲原本也想将欧拉培养为一名牧师。

       但巧的是他的父亲与伯努利家族关系很不错，而伯努利家族是?世纪瑞士的一个赫赫有名的家族，其中出了很多著名的数理科学家。伯努利原籍比利时安特卫普，年遭天主教迫害迁往德国法兰克福，最后定居瑞士巴塞尔。其中以雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli），约翰·伯努利（Johann Bernoulli），丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）这三人的成就最大。雅可比·伯努利是约翰·伯努利的哥哥，也就是首此发现自然常数e 的那位。而丹尼尔·伯努利是约翰·伯努利的儿子。

       约翰·伯努利很早就看出了幼年欧拉的数学天赋，他劝说欧拉的父亲保罗，让欧拉从事数学研究领域的工作，并使他相信欧拉注定能成为一位伟大的数学家。

       因此，岁时就进入了巴塞尔大学学习的欧拉，虽然按照他父亲的意愿主修哲学和法律，并进入了神学系，但在每周星期六下午便跟随当时欧洲最优秀的数学家约翰·伯努利学习数学。

       同一时期，约翰·伯努利的两个儿子——丹尼尔·伯努利和尼古拉·伯努利（Nicolas Bernoulli）——在位于俄国圣彼得堡的俄国皇家科学院工作。在尼古拉因阑尾炎于年7月去世后，丹尼尔便接替了他在数学/物理学所的职位，同时推荐欧拉到数学/物理学所工作。

       考虑到当时俄国的持续的动乱，欧拉在年离开了圣彼得堡，到柏林科学院就职。

       在柏林，他出版了他最有名的两部作品：一部关于函数方面出版于年的《无穷小分析引论》和一部是关于微积分出版于年的《微积分概论》。在《无穷小分析引论》(Introduction to Analysis of the Infinity)中，欧拉提出了著名的“欧拉公式”。

fastText 基本教程（一）—— 词向量训练

       在机器学习领域，将词表示为向量已成为一种广受欢迎的技术。这种表示方法能捕捉到语言的隐藏信息，比如词的类别或语义，从而显著提升文本分类的效果。以下，我们将介绍如何使用fastText工具来训练词向量。

       训练词向量的过程需要大量的文本数据作为支撑。在这里，我们将使用维基百科的文章数据作为示例。获取这些数据可以通过下载和解压的方式完成。值得注意的是，维基百科的数据量巨大，本文将使用英文维基百科的前亿个字节，大约在1GB左右。

       在获取数据后，数据预处理阶段是必要的。这一步主要是清除原始数据中的HTML/XML标记，确保数据的纯净。可以使用wikifil.pl脚本进行预处理，该脚本可从特定链接下载。在预处理结束后，应再次检查数据以确保已成功移除所有HTML/XML标记。

       训练词向量的步骤如下：首先，执行训练命令生成词向量。训练完成后，可打印出词典中所有单词的列表，按照出现频率从高到低排序。然后，可以使用get_word_vector()函数获取特定单词的词向量。对于未在数据集中出现的单词，fastText也能够提供对应的词向量。这是因为未知单词可以视为由已知子词组成的，fastText能够根据子词信息计算出相应的词向量。此外，即使对于拼写错误的单词，fastText也能够查询到其词向量。

       训练过程中的模型保存与加载是重要的环节。使用fastText工具时，可以将训练得到的模型保存为二进制文件，以便在需要时加载使用。这为模型的持久化和重复利用提供了方便。

       fastText提供了两种模型：skip-gram和cbow，用于计算词向量表示。skip-gram模型基于中心词预测上下文词，而cbow模型则基于上下文词预测中心词。通过比较这两种模型，发现使用了子词信息的skip-gram模型通常表现更好。

       fastText的训练参数对模型性能有重要影响。这些参数包括但不限于学习率、迭代次数、维度大小等。通过调整这些参数，可以优化模型的训练过程，以达到更好的效果。

       利用训练好的模型，可以检验词向量的相似性。通过查看与特定单词最近的邻居词，我们可以直观地了解模型的相似度判断能力。同时，fastText还支持通过get_nearest_neighbors()函数来实现，以查看离给定单词最近的个词为例。对于拼写错误的词，fastText同样可以提供相关的邻居词。

       类比功能是fastText的另一个亮点。通过get_analogies()函数，我们可以基于给定的三元组（例如，德国对柏林，求法国对应的是什么？）进行类比查询。这种方法有助于揭示模型对于语义相似性和上下文关系的理解能力。

       fastText默认使用子词信息来训练词向量，这有助于处理拼写错误和词汇变体问题。即使对于未在词典中出现的单词，只要它们可以由子词构成，fastText都能够提供相应的词向量。同时，该模型还能查询到这些单词的邻居词和进行类比查询。

       为了对比不使用子词信息与一般模型的区别，可以设置maxn参数为0来禁用子词信息。通过比较使用这两种模型求解accomodation的邻居词，我们可以发现不使用子词信息的模型结果缺乏意义，大部分词与目标词关联性不高。相比之下，使用子词信息的模型能够捕捉到原词的各种变体以及语义相近的词，如amenities和catering。

       综上所述，fastText提供了一种强大的方法来学习词向量，其灵活的模型选择、丰富的功能以及对子词信息的利用，使得它在处理自然语言处理任务时表现出色。通过本文的介绍，希望读者能够理解如何使用fastText来训练词向量，并在实际应用中发挥其优势。

为什么f(x)在x=0处连续却在x= x=0处间断

       根据是收敛定理，也称狄里克雷收敛定理；定理结论是：在f(x)的连续点x处，级数收敛到f(x);在f(x)的间断点x处，级数收敛到（f(x+0)+f(x-0))/2。

       年在波兰布雷斯劳大学任讲师。年任柏林大学讲师，年升为教授。年，高斯逝世后，他作为高斯的继任者被哥廷根大学聘任为教授，直至逝世。年，他被选为普鲁士科学院院士，年被选为英国皇家学会会员。

       人物介绍

       狄利克雷（～）　Dirichlet，Peter Gustav Lejeune　德国数学家。对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一。年2月日生于迪伦，年5月5日卒于格丁根。中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆。

       ～年在巴黎求学，深受J.-B.-J.傅里叶的影响。回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教年，对德国数学发展产生巨大影响。年任柏林大学教授，年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。