1.最优化理论之负梯度方法与Newton型方法
最优化理论之负梯度方法与Newton型方法
在前次分享中,源码我们探讨了无约束优化的公式基础结构。接下来,源码我们将深入研究针对不同类型最优化问题的公式优化方法,包括理论构建、源码实施流程和收敛性证明,公式币 空投源码特别是源码负梯度法和Newton型方法。这些方法在金融科技和机器学习领域中扮演着关键角色,公式例如在sklearn新版的源码Logistic回归优化中,BFGS方法是公式默认选择。
首先,源码最速下降法假设在第k步,公式寻找使函数在[公式] 点下降最快的源码方向。尽管方向众多,公式但根据Cauchy-Schwarz不等式,源码黑马起步指标源码当[公式] 时,[公式] 是最小的。选择[公式] 作为负梯度方向,配合精确线搜索,形成最速下降法。这种方法的收敛速度受G矩阵条件数影响,病态矩阵可能导致收敛缓慢。老毛桃源码
接着,最速下降法具有全局收敛性,但对于正定二次函数,其收敛速度为线性,取决于G的特征值。而当矩阵条件数接近1时,收敛速度接近超线性;反之,csdn免费jsp源码病态矩阵将减缓收敛。
虽然最速下降法简单易行,但它存在缺点,如线性收敛、可能出现Zigzag现象,以及缺乏二次终止性。而基本Newton方法则利用连续二阶导数,分销关系图源码通过泰勒展开近似优化问题,理论上具有二阶收敛性,但计算负担大,且可能会因矩阵奇异或不正定而失败。
阻尼Newton方法在基本方法的基础上引入一维线搜索,确保对正定矩阵的单调下降,即使初始点远离极小值,仍能收敛。混合方法结合了基本和负梯度方法,解决Hesse矩阵问题。LM方法针对奇异、不正定情况提供了简单处理策略,通过求解[公式] 来确定方向。
在优化实践中,牛顿法展示了二阶收敛性,但初始点远离极小点时,可能出现局部收敛问题。而拟牛顿方法通过拟合Hesse矩阵,降低了对二阶导数的需求,如对称秩1和秩2公式,以及DFP、BFGS和Broyden族方法。实际案例中,如Rosenbrock函数优化,展示了这些方法的性能差异。
总的来说,负梯度法与Newton型方法在最优化中各有优势,根据问题特性选择合适的优化策略至关重要。下一次分享将关注共轭梯度法,它是大规模优化问题的重要解决方案。