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4.什么是k-s检验

求背包问题的pascal源代码

       P: 背包问题

       题目

       有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的码k码费用是c[i]，价值是理论w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的组指d组远控源码教程费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。标源标源

       基本思路

       这是码k码最基础的背包问题，特点是理论：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。组指d组

       用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的标源标源背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是码k码：f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。

       这个方程非常重要，理论基本上所有跟背包相关的组指d组问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的标源标源背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

       注意f[i][v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N][V]，而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[i][v-1]，这样就可以保证f[N][V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。

       优化空间复杂度

       以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。

       先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：

       for i=1..N

        for v=V..0

        f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

       其中的f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解背包问题是十分必要的。

       总结

       背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。

       P: 完全背包问题

       题目

       有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

       基本思路

       这个问题非常类似于背包问题，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解背包时的思路，令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：f[i][v]=max{ f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}。这跟背包问题一样有O(N*V)个状态需要求解，但求解每个状态的时间则不是常数了，求解状态f[i][v]的时间是O(v/c[i])，总的复杂度是超过O(VN)的。

       将背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这说明背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的freebsd源码开源吗背包问题。但我们还是试图改进这个复杂度。

       一个简单有效的优化

       完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高得j换成物美价廉的i，得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。

       转化为背包问题求解

       既然背包问题是最基本的背包问题，那么我们可以考虑把完全背包问题转化为背包问题来解。最简单的想法是，考虑到第i种物品最多选V/c[i]件，于是可以把第i种物品转化为V/c[i]件费用及价值均不变的物品，然后求解这个背包问题。这样完全没有改进基本思路的时间复杂度，但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为背包问题的思路：将一种物品拆成多件物品。

       更高效的转化方法是：把第i种物品拆成费用为c[i]*2^k、价值为w[i]*2^k的若干件物品，其中k满足c[i]*2^k<V。这是二进制的思想，因为不管最优策略选几件第i种物品，总可以表示成若干个2^k件物品的和。这样把每种物品拆成O(log(V/c[i]))件物品，是一个很大的改进。 但我们有更优的O(VN)的算法。 * O(VN)的算法 这个算法使用一维数组，先看伪代码： <pre class"example"> for i=1..N for v=0..V f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

       你会发现，这个伪代码与P的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢？首先想想为什么P中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-c[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]]，所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。

       这个算法也可以以另外的思路得出。例如，基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式：f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}，将这个方程用一维数组实现，便得到了上面的伪代码。

       总结

       完全背包问题也是一个相当基础的背包问题，它有两个状态转移方程，分别在“基本思路”以及“O(VN)的算法“的小节中给出。希望你能够对这两个状态转移方程都仔细地体会，不仅记住，也要弄明白它们是怎么得出来的，最好能够自己想一种得到这些方程的方法。事实上，对每一道动态规划题目都思考其方程的意义以及如何得来，是加深对动态规划的理解、提高动态规划功力的好方法。

       P: 多重背包问题

       题目

       有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

       基本算法

       这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则：f[i][v]=max{ f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}。复杂度是O(V*∑n[i])。

       转化为背包问题

       另一种好想好写的基本方法是转化为背包求解：把第i种物品换成n[i]件背包中的物品，则得到了物品数为∑n[i]的背包问题，直接求解，复杂度仍然是O(V*∑n[i])。

       但是我们期望将它转化为背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第i种物品换成若干件物品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，网页游戏源码泄露取超过n[i]件的策略必不能出现。

       方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。

       分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这个证明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]两段来分别讨论得出，并不难，希望你自己思考尝试一下。

       这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为O(V*∑log n[i])的背包问题，是很大的改进。

       O(VN)的算法

       多重背包问题同样有O(VN)的算法。这个算法基于基本算法的状态转移方程，但应用单调队列的方法使每个状态的值可以以均摊O(1)的时间求解。由于用单调队列优化的DP已超出了NOIP的范围，故本文不再展开讲解。我最初了解到这个方法是在楼天成的“男人八题”幻灯片上。

       小结

       这里我们看到了将一个算法的复杂度由O(V*∑n[i])改进到O(V*∑log n[i])的过程，还知道了存在应用超出NOIP范围的知识的O(VN)算法。希望你特别注意“拆分物品”的思想和方法，自己证明一下它的正确性，并用尽量简洁的程序来实现。

       P: 混合三种背包问题

       问题

       如果将P、P、P混合起来。也就是说，有的物品只可以取一次（背包），有的物品可以取无限次（完全背包），有的物品可以取的次数有一个上限（多重背包）。应该怎么求解呢？

       背包与完全背包的混合

       考虑到在P和P中最后给出的伪代码只有一处不同，故如果只有两类物品：一类物品只能取一次，另一类物品可以取无限次，那么只需在对每个物品应用转移方程时，根据物品的类别选用顺序或逆序的循环即可，复杂度是O(VN)。伪代码如下：

       for i=1..N

        if 第i件物品是背包

        for v=V..0

        f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

        else if 第i件物品是完全背包

        for v=0..V

        f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

       再加上多重背包

       如果再加上有的物品最多可以取有限次，那么原则上也可以给出O(VN)的解法：遇到多重背包类型的物品用单调队列解即可。但如果不考虑超过NOIP范围的算法的话，用P中将每个这类物品分成O(log n[i])个背包的物品的方法也已经很优了。

       小结

       有人说，困难的题目都是由简单的题目叠加而来的。这句话是否公理暂且存之不论，但它在本讲中已经得到了充分的体现。本来背包、完全背包、多重背包都不是什么难题，但将它们简单地组合起来以后就得到了这样一道一定能吓倒不少人的题目。但只要基础扎实，领会三种基本背包问题的思想，就可以做到把困难的题目拆分成简单的题目来解决。

       P: 二维费用的背包问题

       问题

       二维费用的背包问题是指：对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量）。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价1和代价2，第i件物品所需的两种代价分别为a[i]和b[i]。两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为V和U。物品的价值为w[i]。

       算法

       费用加了一维，只需状态也加一维即可。设f[i][v][u]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值。状态转移方程就是：f[i][v][u]=max{ f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}。如前述方法，可以只使用二维的数组：当每件物品只可以取一次时变量v和u采用顺序的循环，当物品有如完全背包问题时采用逆序的循环。当物品有如多重背包问题时拆分物品。

       物品总个数的限制

       有时，“二维费用”的条件是以这样一种隐含的方式给出的：最多只能取M件物品。这事实上相当于每件物品多了一种“件数”的费用，每个物品的件数费用均为1，可以付出的最大件数费用为M。换句话说，设f[v][m]表示付出费用v、最多选m件时可得到的最大价值，则根据物品的最新视频解析源码类型（、完全、多重）用不同的方法循环更新，最后在f[0..V][0..M]范围内寻找答案。

       另外，如果要求“恰取M件物品”，则在f[0..V][M]范围内寻找答案。

       小结

       事实上，当发现由熟悉的动态规划题目变形得来的题目时，在原来的状态中加一纬以满足新的限制是一种比较通用的方法。希望你能从本讲中初步体会到这种方法。

       P: 分组的背包问题

       问题

       有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

       算法

       这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值，则有f[k][v]=max{ f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于第k组}。

       使用一维数组的伪代码如下：

       for 所有的组k

        for 所有的i属于组k

        for v=V..0

        f[v]=max{ f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

       另外，显然可以对每组中的物品应用P中“一个简单有效的优化”。

       小结

       分组的背包问题将彼此互斥的若干物品称为一个组，这建立了一个很好的模型。不少背包问题的变形都可以转化为分组的背包问题（例如P），由分组的背包问题进一步可定义“泛化物品”的概念，十分有利于解题。

       P: 有依赖的背包问题

       简化的问题

       这种背包问题的物品间存在某种“依赖”的关系。也就是说，i依赖于j，表示若选物品i，则必须选物品j。为了简化起见，我们先设没有某个物品既依赖于别的物品，又被别的物品所依赖；另外，没有某件物品同时依赖多件物品。

       算法

       这个问题由NOIP金明的预算方案一题扩展而来。遵从该题的提法，将不依赖于别的物品的物品称为“主件”，依赖于某主件的物品称为“附件”。由这个问题的简化条件可知所有的物品由若干主件和依赖于每个主件的一个附件集合组成。

       按照背包问题的一般思路，仅考虑一个主件和它的附件集合。可是，可用的策略非常多，包括：一个也不选，仅选择主件，选择主件后再选择一个附件，选择主件后再选择两个附件……无法用状态转移方程来表示如此多的策略。（事实上，设有n个附件，则策略有2^n+1个，为指数级。）

       考虑到所有这些策略都是互斥的（也就是说，你只能选择一种策略），所以一个主件和它的附件集合实际上对应于P中的一个物品组，每个选择了主件又选择了若干个附件的策略对应于这个物品组中的一个物品，其费用和价值都是这个策略中的物品的值的和。但仅仅是这一步转化并不能给出一个好的算法，因为物品组中的物品还是像原问题的策略一样多。

       再考虑P中的一句话： 可以对每组中的物品应用P中“一个简单有效的优化”。 这提示我们，对于一个物品组中的物品，所有费用相同的物品只留一个价值最大的，不影响结果。所以，我们可以对主件i的“附件集合”先进行一次背包，得到费用依次为0..V-c[i]所有这些值时相应的最大价值f'[0..V-c[i]]。那么这个主件及它的附件集合相当于V-c[i]+1个物品的物品组，其中费用为c[i]+k的物品的价值为f'[k]+w[i]。也就是说原来指数级的策略中有很多策略都是冗余的，通过一次背包后，将主件i转化为V-c[i]+1个物品的物品组，就可以直接应用P的算法解决问题了。

       更一般的问题

       更一般的问题是：依赖关系以图论中“森林”的形式给出（森林即多叉树的集合），也就是说，主件的附件仍然可以具有自己的附件集合，限制只是每个物品最多只依赖于一个物品（只有一个主件）且不出现循环依赖。

       解决这个问题仍然可以用将每个主件及其附件集合转化为物品组的方式。唯一不同的cad画图软件 源码是，由于附件可能还有附件，就不能将每个附件都看作一个一般的背包中的物品了。若这个附件也有附件集合，则它必定要被先转化为物品组，然后用分组的背包问题解出主件及其附件集合所对应的附件组中各个费用的附件所对应的价值。

       事实上，这是一种树形DP，其特点是每个父节点都需要对它的各个儿子的属性进行一次DP以求得自己的相关属性。这已经触及到了“泛化物品”的思想。看完P后，你会发现这个“依赖关系树”每一个子树都等价于一件泛化物品，求某节点为根的子树对应的泛化物品相当于求其所有儿子的对应的泛化物品之和。

       小结

       NOIP的那道背包问题我做得很失败，写了上百行的代码，却一分未得。后来我通过思考发现通过引入“物品组”和“依赖”的概念可以加深对这题的理解，还可以解决它的推广问题。用物品组的思想考虑那题中极其特殊的依赖关系：物品不能既作主件又作附件，每个主件最多有两个附件，可以发现一个主件和它的两个附件等价于一个由四个物品组成的物品组，这便揭示了问题的某种本质。

       我想说：失败不是什么丢人的事情，从失败中全无收获才是。

       P: 泛化物品

       定义

       考虑这样一种物品，它并没有固定的费用和价值，而是它的价值随着你分配给它的费用而变化。这就是泛化物品的概念。

       更严格的定义之。在背包容量为V的背包问题中，泛化物品是一个定义域为0..V中的整数的函数h，当分配给它的费用为v时，能得到的价值就是h(v)。

       这个定义有一点点抽象，另一种理解是一个泛化物品就是一个数组h[0..V]，给它费用v，可得到价值h[V]。

       一个费用为c价值为w的物品，如果它是背包中的物品，那么把它看成泛化物品，它就是除了h(c)=w其它函数值都为0的一个函数。如果它是完全背包中的物品，那么它可以看成这样一个函数，仅当v被c整除时有h(v)=v/c*w，其它函数值均为0。如果它是多重背包中重复次数最多为n的物品，那么它对应的泛化物品的函数有h(v)=v/c*w仅当v被c整除且v/c<=n，其它情况函数值均为0。

       一个物品组可以看作一个泛化物品h。对于一个0..V中的v，若物品组中不存在费用为v的的物品，则h(v)=0，否则h(v)为所有费用为v的物品的最大价值。P中每个主件及其附件集合等价于一个物品组，自然也可看作一个泛化物品。

       泛化物品的和

       如果面对两个泛化物品h和l，要用给定的费用从这两个泛化物品中得到最大的价值，怎么求呢？事实上，对于一个给定的费用v，只需枚举将这个费用如何分配给两个泛化物品就可以了。同样的，对于0..V的每一个整数v，可以求得费用v分配到h和l中的最大价值f(v)。也即f(v)=max{ h(k)+l(v-k)|0<=k<=v}。可以看到，f也是一个由泛化物品h和l决定的定义域为0..V的函数，也就是说，f是一个由泛化物品h和l决定的泛化物品。

       由此可以定义泛化物品的和：h、l都是泛化物品，若泛化物品f满足f(v)=max{ h(k)+l(v-k)|0<=k<=v}，则称f是h与l的和，即f=h+l。这个运算的时间复杂度是O(V^2)。

       泛化物品的定义表明：在一个背包问题中，若将两个泛化物品代以它们的和，不影响问题的答案。事实上，对于其中的物品都是泛化物品的背包问题，求它的答案的过程也就是求所有这些泛化物品之和的过程。设此和为s，则答案就是s[0..V]中的最大值。

       背包问题的泛化物品

       一个背包问题中，可能会给出很多条件，包括每种物品的费用、价值等属性，物品之间的分组、依赖等关系等。但肯定能将问题对应于某个泛化物品。也就是说，给定了所有条件以后，就可以对每个非负整数v求得：若背包容量为v，将物品装入背包可得到的最大价值是多少，这可以认为是定义在非负整数集上的一件泛化物品。这个泛化物品——或者说问题所对应的一个定义域为非负整数的函数——包含了关于问题本身的高度浓缩的信息。一般而言，求得这个泛化物品的一个子域（例如0..V）的值之后，就可以根据这个函数的取值得到背包问题的最终答案。

       综上所述，一般而言，求解背包问题，即求解这个问题所对应的一个函数，即该问题的泛化物品。而求解某个泛化物品的一种方法就是将它表示为若干泛化物品的和然后求之。

       小结

       本讲可以说都是我自己的原创思想。具体来说，是我在学习函数式编程的 Scheme 语言时，用函数编程的眼光审视各类背包问题得出的理论。这一讲真的很抽象，也许在“模型的抽象程度”这一方面已经超出了NOIP的要求，所以暂且看不懂也没关系。相信随着你的OI之路逐渐延伸，有一天你会理解的。

       我想说：“思考”是一个OIer最重要的品质。简单的问题，深入思考以后，也能发现更多。

       P: 背包问题问法的变化

       以上涉及的各种背包问题都是要求在背包容量（费用）的限制下求可以取到的最大价值，但背包问题还有很多种灵活的问法，在这里值得提一下。但是我认为，只要深入理解了求背包问题最大价值的方法，即使问法变化了，也是不难想出算法的。

       例如，求解最多可以放多少件物品或者最多可以装满多少背包的空间。这都可以根据具体问题利用前面的方程求出所有状态的值（f数组）之后得到。

       还有，如果要求的是“总价值最小”“总件数最小”，只需简单的将上面的状态转移方程中的max改成min即可。

       下面说一些变化更大的问法。

       输出方案

       一般而言，背包问题是要求一个最优值，如果要求输出这个最优值的方案，可以参照一般动态规划问题输出方案的方法：记录下每个状态的最优值是由状态转移方程的哪一项推出来的，换句话说，记录下它是由哪一个策略推出来的。便可根据这条策略找到上一个状态，从上一个状态接着向前推即可。

       还是以背包为例，方程为f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}。再用一个数组g[i][v]，设g[i][v]=0表示推出f[i][v]的值时是采用了方程的前一项（也即f[i][v]=f[i-1][v]），g[i][v]表示采用了方程的后一项。注意这两项分别表示了两种策略：未选第i个物品及选了第i个物品。那么输出方案的伪代码可以这样写（设最终状态为f[N][V]）：

       i=N

       v=V

       while(i>0)

        if(g[i][v]==0)

        print "未选第i项物品"

        else if(g[i][v]==1)

        print "选了第i项物品"

        v=v-c[i]

       另外，采用方程的前一项或后一项也可以在输出方案的过程中根据f[i][v]的值实时地求出来，也即不须纪录g数组，将上述代码中的g[i][v]==0改成f[i][v]==f[i-1][v]，g[i][v]==1改成f[i][v]==f[i-1][v-c[i]]+w[i]也可。

       输出字典序最小的最优方案

       这里“字典序最小”的意思是1..N号物品的选择方案排列出来以后字典序最小。以输出背包最小字典序的方案为例。

       一般而言，求一个字典序最小的最优方案，只需要在转移时注意策略。首先，子问题的定义要略改一些。我们注意到，如果存在一个选了物品1的最优方案，那么答案一定包含物品1，原问题转化为一个背包容量为v-c[1]，物品为2..N的子问题。反之，如果答案不包含物品1，则转化成背包容量仍为V，物品为2..N的子问题。不管答案怎样，子问题的物品都是以i..N而非前所述的1..i的形式来定义的，所以状态的定义和转移方程都需要改一下。但也许更简易的方法是先把物品逆序排列一下，以下按物品已被逆序排列来叙述。

       在这种情况下，可以按照前面经典的状态转移方程来求值，只是输出方案的时候要注意：从N到1输入时，如果f[i][v]==f[i-v]及f[i][v]==f[i-1][f-c[i]]+w[i]同时成立，应该按照后者（即选择了物品i）来输出方案。

       求方案总数

       对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系（分组、依赖等）的背包问题，除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外，还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数。

       对于这类改变问法的问题，一般只需将状态转移方程中的max改成sum即可。例如若每件物品均是背包中的物品，转移方程即为f[i][v]=sum{ f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}，初始条件f[0][0]=1。

       事实上，这样做可行的原因在于状态转移方程已经考察了所有可能的背包组成方案。

       最优方案的总数

       这里的最优方案是指物品总价值最大的方案。还是以背包为例。

       结合求最大总价值和方案总数两个问题的思路，最优方案的总数可以这样求：f[i][v]意义同前述，g[i][v]表示这个子问题的最优方案的总数，则在求f[i][v]的同时求g[i][v]的伪代码如下：

       for i=1..N

        for v=0..V

        f[i][v]=max{ f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

        g[i][v]=0

        if(f[i][v]==f[i-1][v])

        inc(g[i][v],g[i-1][v]

        if(f[i][v]==f[i-1][v-c[i]]+w[i])

        inc(g[i][v],g[i-1][v-c[i]])

       如果你是第一次看到这样的问题，请仔细体会上面的伪代码。

       小结

       显然，这里不可能穷尽背包类动态规划问题所有的问法。甚至还存在一类将背包类动态规划问题与其它领域（例如数论、图论）结合起来的问题，在这篇论背包问题的专文中也不会论及。但只要深刻领会前述所有类别的背包问题的思路和状态转移方程，遇到其它的变形问法，只要题目难度还属于NOIP，应该也不难想出算法。

       触类旁通、举一反三，应该也是一个OIer应有的品质吧。

哪位好心人帮帮忙 在管理学中S理论、Z理论、K理论分别指什么理论 他们的全称是什么呀

       传统的管理理论——“X理论”

       （1）“X理论”的人性假设

       （2）“X理论”的管理要点

       （3）对“X理论”的批判

       “X理论”的人性假设

        人生来就是懒惰的，只要可能就会逃避工作

        人生来就缺乏进取心，不愿承担责任，宁愿听从指挥

        人天生就以自我为中心，漠视组织需要

        人习惯于守旧，本性就反对变革

        只有极少数人才具有解决组织问题所需要的想象力和创造力

        人缺乏理性，容易受外界的影响

       “X理论”的管理要点

        管理者以经济目的——获得利润为出发点，来组织人、财、物等生产要素

        管理是一个指挥他人的工作、控制他人的活动、调整他人的行为以满足组织需要的过程

        管理的手段或者是奖惩、严格的管理制度、权威、严密的控制体系，或者是采用松弛的管理方法，宽容和满足人的各种要求，求得相安无事。

       对“X理论”的批判

       “X理论”对人性的假设是错误的。这些假设不是人的先天本性，而是工业组织的性质、管理哲学、政策和措施的后果。传统的“X理论”是建立在错误的因果概念的基础之上的。

       管理的新理论——“Y理论”

       （1）“Y理论”的人性假设

       （2）“Y理论”的管理要点

       （3）“Y理论”的若干管理方法

       “Y理论”的人性假设

        要求工作是人的本性

        在适当条件下，人们不但愿意，而且能够主动承担责任

        个人追求满足欲望的需要与组织需要没有矛盾

        人对于自己新参与的工作目标，能实行自我指挥与自我控制

        大多数人都具有解决组织问题的丰富想象力和创造力

       “Y理论”的管理要点

        管理要通过有效地综合运用人、财、物等生产要素来实现企业的各种目标

        把人安排到具有吸引力和富有意义的岗位上工作

        重视人的基本特征和基本需求，鼓励人们参与自身目标和组织目标的制定

        把责任最大限度地交给工作者

        要用信任取代监督，以启发与诱导代替命令与服从

       总之，管理过程主要是一个创造机会、挖掘潜力、排除障碍、鼓励发展的帮助引导的过程。

       “Y理论”的若干管理方法

        ①分权和授权

        ②工作扩大化

        ③参与式和协商式的管理

        ④职工绩效的自我批判

       对“X—Y理论”的评析

       (1)“X—Y理论”的贡献

       (2)“X—Y理论”的局限性

       “X—Y理论”的贡献

        阐述了人性假设与管理理论的内在关系，即人性假设是管理理论的哲学基础；提出了“管理理论都是以人性假设为前提的”重要观点，这表明麦格雷戈已揭示了“人本管理原理”的实质。

        “X—Y理论”关于“不同的人性假设在实践中就体现为不同的管理观念和行为”的观点，动态地分析了人性假设的变化对管理理论的影响，进而提出了管理理论的发展也是以人性假设的变化为前提的研究课题。

        “X—Y理论”提出的管理活动中要充分调动人的积极性、主动性和创造性，实现个人目标与组织目标一体化等思想以及参与管理、丰富工作内容等方法，对现代管理理论的发展和管理水平的提高具有重要的借鉴意义。

       “X—Y理论”的局限性

        麦格雷戈对人性的基本估计过于绝对和偏激。X理论过低地估计了人的能动性，Y理论则把人完全理性化。

        X理论并非一无是处，Y理论也未必普遍适用。管理应针对不同的情况，科学地选择和综合运用科学理论。

       Z理论（theory z）由日裔美国学者w.大内（Willam Ouchi)于世纪年代提出的一种新型管理理论。这一理论的提出是鉴于美国企业面临着日本企业的严重挑战。大内选择了日、美两国的一些典型企业（这些企业在本国及对方国家中都设有子公司或工厂）进行研究，发现日本企业的生产率普遍高于美国企业，而美国在日本设置的企业，如果按照美国方式管理，其效率便差。根据这一现象，大内提出了美国的企业应结合本国的特点，向日本企业的管理方式学习，形成自己的一种管理方式。他把这种管理方式归结为Z型管理方式。

       在研究中大内主要从七个维度对美日管理进行比较和剖析。

       1、雇佣制度 2、决策制度 3、责任制 4、控制机制 5、考评与提升制度 6、员工职业发展 7、对职工的关怀

       Z理论的独道见解：（1）终身雇佣制。长期雇佣职工，即使经营不佳地一般也不解雇工人，要采取别种方法度过难关，对职工的职业保证会使人更加积极地关心企业利益。（2）缓慢的评价和晋升。对职工要经过较长时间的考验再作全面评价。（3）分散与集中决策。企业的重大决策，要先由生产或销售第一线的职工提出建议，经过中层管理人员把各种意见集中调整、统一后上报，最后再由上一级领导经过调查研究后作出比较正确的决策，执行决策时要分工负责。（4）含蓄的控制，但检测手段明确正规。基层管理者一方面要敏感地抓住问题实质，就地解决，另一方面要在上报情况前，协同有关部门共同制定出解决问题方案。（5）融洽管理人员与职工的关系。全面关心职工生活，把对生产任务和工作设计的要求同职工劳动生活质量结合起来，让职工在工作中得到满足，心情舒畅。（6）让职工得到多方面的锻炼。不把职工局限在狭窄的范围内，既注意培养职工的专业知识能力，又注意使职工获得多方面的工作经验，对生产技术和社会活动能力都要进行长期全面的考查。

       来自百度百科

什么是R/S分析法

       R/S分析法通常用来分析时间序列的分形特征和长期记忆过程，最初由英国水文学家赫斯特(Hurst,年)在研究尼罗河水坝工程时提出的方法。后来，它被用在各种时间序列的分析之中。

       曼德尔布罗特（Mandelbrot）在年首次将R/S分析应用于美国证券市场，分析股票收益的变化，彼得斯（Peters）把这种方法作为其分形市场假说最重要的研究工具进行了详细的讨论和发展，并做了很多实证研究。R/S分析方法的基本内容是：对于一个时间序列{ xt}，把它分为N个长度为A的等长子区间，对于每一个子区间，设：

       (1)

       其中，Mn为第n个区间xu的平均值，Xt,n为第n个区间的累计离差。令：

       R = max(Xt,n) − min(Xt,n)(2)

       若以S表示xu序列的标准差，则可定义重标极差R/S，它随时间而增加。Hurst通过长时间的实践总结，建立了如下关系：

       R / S = K(n)(3)

       对（3）式相边取对数，得到（4）式：

       log(R / S)n = Hlog(n) + log(K)(4)

       因此，对log(n)和log(R / S)n进行最小二乘法回归就可以估计出H的值。

       在对周期循环长度进行估计时，可用Vn统计量，它最初是Hurst用来检验稳定性，后来用来估计周期的长度。

       (5)

       计算H值和Vn的目的是为了分析时间序列的统计特性。Hurst指数可衡量一个时间序列的统计相关性。当H=0.5时，时间序列就是标准的随机游走，收益率呈正态分布，可以认为现在的价格信息对未来不会产生影响，即市场是有效的。当0.5≤H<1时，存在状态持续性，时间序列是一个持久性的或趋势增强的序列，收益率遵循一个有偏的随机过程，偏倚的程序有赖于H比0.5大多少，在这种状态下，如果序列前一期是向上走的，下一期也多半是向上走的。当0<H≤0.5时，时间序列是反持久性的或逆状态持续性的，这时候，若序列在前一个期间向上走，那么下一期多半向下走。

       对于独立随机过程的时间序列来说，Vn关于log(n)的曲线是一条直线。如果序列具有状态持续性，即当H>0.5时，Vn关log(n)是向上倾斜的；如果序列具有逆状态持续性，即当H<0.5 时，Vn关于log(n)是向下倾斜的。当Vn 图形形状改变时，就产生了突变，长期记忆消失。因此，用Vn关于log(n)的关系曲线就可以直观地看出一个时间序列某一时刻的值对以后值的影响时间的界限。

       为了测算序列对随机游走的偏离，Peters还引入了E(R / S)n统计量，它的计算公式为：

       (6)

       对于一个时间序列，当H≠0.5时，对应于方差比分析中VR(q)≠1时的情况，收益率不再呈正态分布，时间序列各个观测值之间不是互相独立的，后面的观测值都带着在它之前的观测值的“记忆”，这就是我们所说的长期记忆性，从理论上来说它是存在的。随时间延长，前面观测值对后面观测值影响越来越少。因此，时间序列是一长串相互联系的事件叠加起来的结果。为了描述现在对未来的影响，Mandelbrot引进了一个相关性度量的指标CM，它表示的意思和H是对应的。

       CM = 2(2H − 1) − 1(7)

       其中CM表示在期间M上的相关性。所以，当H=0.5时，序列不相关；当C>0时，序列正相关；当C<0时，序列负相关。

        R/S分析法的实证检验及结果

       在检验过程中，我们使用对数收益率，即对个周收盘价数据按公式(8)进行处理，得到个数据组成的周收益率序列。为了消除序列的线性依赖，一般分析收益率序列的AR(1)残差，因为线性依赖会使分析偏离Hurst指数或导致第一类错误的发生。以St为因变量，St − 1为自变量，St对St − 1进行回归，就可以得到St的残差序列。

       (8)Xt = St − (a + bSt − 1)(9)

       按照以上方法，我们用Gauss5.0编写计算机程序进行计算，得到表1的结果。

       表1:沪深两市周收益率序列(R/S)n计算结果

       n

       log(n)

       R/S

       log(R/S)

       E(R/S)

       V统计量

       R/SE(R/S)上海......................................................深圳......................................................

       表2:沪深两市Hurst指数估算表

       区间

       截距

       Hurst指数

       估计的标准差

       观察个数

       R2

       P 值(>F)

       CM

       上海4≤n≤-0......≤n≤-0......≤n≤-0......深圳4≤n≤-0......≤n≤-0......

       注：因为在深圳证券市场的区间≤n≤ 内，只有两个观测数据，回归结果不具有现实意义，故未加列示。

       按照（4）式分别对沪深两市的log(n)和log(R/S)进行回归，得到上海证券市场的Hurst指数为0.，深圳证券市场的Hurst指数为0.（表2），都明显大于随机游走假设的临界值0.5，说明沪深两市都存在明显的持久性和分形结构。股票的周收益序列不同于普通的随机游走，是一个有偏的随机游走过程，这是因为序列的前后的记忆性在起作用。

       图1、2分别给出了沪深两市V统计量相对于log(n)的变化趋势。因为V统计量是(R/S)n相对于n0.5的变化率，所以当时间序列呈现出持续性（H>0.5）时，比率就会增加，V统计量曲线就会一直上升；如果序列呈现出随机游走（H=0.5）或反持续性（H<0.5），V统计量将大致保持不变或单调下降。所以，V统计量曲线由上升转而为保持大致不变或下降的分界点就是序列长期记忆的消失点。如图1、2所示，沪深两市分别在n=和n=处V统计量停止增长，所以，n=和n=即为两个市场的分界点。分别就分界点前后的log(n)和log(R/S)序列进行回归，可以计算分界点前后的Hurst指数（表2）。以上海证券市场为例，分界点前，Hurst指数为0.，相关系数CM为.1%，远高于随机游走时的情况；分界点后，Hurst指数仅有0.，接近随机游走时的0.5。这表明序列中非周期成分是存在的，分界点处n=，即周就是非周期循环的长度。这与文献中对上证综合指数从.3.至.3.间的周收益率进行分析所得结果是相同的。同样，周则是深圳证券市场的非周期循环的长度。文献中，对深证年—年的日收益率进行了R/S分析，虽然计算出Hurst指数为0.，大于0.5，但没有得出深证的非周期循环的长度，这可能与样本期太短有关，由这里的结果来看，说明深证的非周期循环的长度确实比上证要长得多。

        参考文献

        史永东. 上海证券市场的分形结构. 预测, , 5:-

        徐龙炳, 陆蓉. R/S分析探索中国股票市场的非线性. 预测, , 2:-

       刘永涛. 中国股票市场长期记忆性的实证研究

什么是k-s检验

       K-S检验是一种非参数检验方法，主要用于检验两个样本是否来自同一分布或者检验样本数据是否符合某一理论分布。

       以下是

       K-S检验，全称为Kolmogorov-Smirnov检验，是统计学中一种重要的非参数检验方法。非参数检验的一大优势在于进行检验时，不需要事先知道样本数据的分布参数。这一检验方法主要应用于以下两个方面：

       1. 检验两个样本是否来自同一分布：在对比两个独立样本时，K-S检验能够判断它们是否来源于同一总体分布。通过计算两个样本的经验分布函数之间的最大差距，K-S检验能够判断这两个样本的分布是否存在显著差异。

       2. 检验样本数据是否符合某一理论分布：对于一组样本数据，K-S检验可以判断其是否符合预期的某种理论分布，如正态分布、指数分布等。检验过程中，会将样本数据的经验分布函数与理论分布进行比较，通过计算二者之间的差异来判断样本数据是否符合理论分布。

       K-S检验在实际应用中具有较广的适用范围和较高的检验效能，但其结果受到样本大小、形状和偏态等因素的影响。因此，在进行K-S检验时，需要注意样本的选择和数据的预处理，以确保检验结果的准确性和可靠性。

       总的来说，K-S检验是一种非常有用的统计工具，尤其在数据分布信息不完全清楚的情况下，能够帮助我们进行有效的推断和决策。